Persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13 di titik yang berabsis -1 adalah [tex]\boxed{ \sf3x + 2y + 9= 0}[/tex] dan [tex] \boxed{\sf -3x + 2y -5 = 0}[/tex]
[tex]~[/tex]
PENDAHULUAN
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang membentuk garis melengkung dan kedua ujungnya saling bertemu pada jarak yang sama terhadap titik pusat.
Bentuk umum persamaan lingkaran: [tex] \boxed{ \red{ \sf {x}^{2} + {y}^{2} + Ax + By + C = 0}}[/tex]
Dengan:
• Pusat[tex]\left( \sf - \dfrac{A}{2},- \dfrac{B}{2} \right)[/tex]
• Jari-jari lingkaran (r) = [tex]\boxed{ \sf\sqrt{ \dfrac{ {A}^{2} }{4} + \dfrac{ {B}^{2} }{4} - C } } \: \: \red{atau} \: \: \boxed{\sf \sqrt{ \left( - \dfrac{A}{2} \right)^{2} + \left( - \dfrac{B}{2} \right)^{2} - C}}[/tex]
[tex]~[/tex]
Langkah – langkah menyusun persamaan lingkaran:
- Menentukan pusat dan jari – jari lingkaran.
- Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai berdasarkan data yang diketahui, dalam bentuk (x – a)² + (y – b)² = r² atau x² + y² = r².
[tex]~[/tex]
Persamaan-persamaan Lingkaran
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c}\underline{ \red{ \sf Data \: Yang \: Diketahui}}&\underline{ \red{\sf Persamaan \: Lingkaran }} \\ &&& \\ \sf \:P(0,0) \: dan \: jari-jari \: r & \sf{x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} \\&&& \\ \sf \:P(a,b) \: dan \: jari-jari \: r & \sf {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = {r}^{2} \\&&& \\\sf \:P(a,b) \: dan \: menyinggung \\ \sf \: sumbu \: x & \sf {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = {b}^{2} \\&&& \\\sf \:P(a,b) \: dan \: menyinggung \\ \sf \: sumbu \: y& \sf {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = {a}^{2} \: \end{array}}[/tex]
[tex]~[/tex]
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan garis singgung lingkaran di titik [tex](x_1, y_1)[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c} \sf \: persamaan \: lingkaran \\ \sf {x }^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} &\sf x_1 \cdot{x} +y_1\cdot{y} = {r}^{2} \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf {(x - a) }^{2} + {(y - b)}^{2} = {r}^{2}& \sf \:( x_1 - a) (x - a) + ( y_1 - b) (y- b) = {r}^{2} \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf{x}^{2} + {y}^{2} + Ax +By + C= 0& \sf x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + \dfrac{1}{2}A(x +x_1) + \dfrac{1}{2}B(y+y_1) + C = 0\\&&& \\\end{array}}[/tex]
2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien (m) tertentu
[tex] \boxed{\begin{array}{c|c} \sf \: persamaan \: lingkaran \\ \sf {x }^{2} + {y}^{2} = {r}^{2} &\sf y = mx \pm \: r \sqrt{ {m}^{2} + 1 } \\ &&& \\ \sf persamaan \: lingkaran \\ \sf {(x - a) }^{2} + {(y - b)}^{2} = {r}^{2}& \sf (y - b) = m(x - a) \pm \: r \sqrt{ {m}^{2} + 1 } \\&&& \\\end{array}}[/tex]
[tex]~[/tex]
PEMBAHASAN
Diketahui:
Persamaan lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13 melewati titik yang berabsis -1
- P(2, -1)
- r² = 13 => r = √13
Ditanya:
Persamaan garis singgung lingkaran
Penyelesaian:
Substitusi x = 1 ke persamaan lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13
[tex]\sf(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13[/tex]
[tex]\sf(-1 - 2)^2+ (y + 1)^2 = 13[/tex]
[tex]\sf(-3)^2+ (y + 1)^2 = 13[/tex]
[tex]\sf9 + y² + 2y + 1 = 13[/tex]
[tex]\sf y² + 2y + 10 = 13[/tex]
[tex]\sf y² + 2y + 10 - 13 = 0[/tex]
[tex]\sf y² + 2y - 3 = 0[/tex]
[tex]\sf(y + 3)( y - 1) = 0[/tex]
[tex]\sf y_1 = -3~~~~y_2 = 1[/tex]
Maka, titik singgung lingkaran berada di titik [tex]\boxed{(-1, -3)\:dan\:(-1, 1)}[/tex]
[tex]~[/tex]
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (-1, -3)
[tex] \sf( x_1 - a) (x - a) + ( y_1 - b)(y- b) = {r}^{2} [/tex]
[tex] \sf(-1 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = (\sqrt{13})^2 [/tex]
[tex] \sf(-3)(x - 2) + (-2)(y + 1) = 13[/tex]
[tex] \sf-3x + 6 + (-2y - 2) = 13[/tex]
[tex] \sf-3x + 6 - 2y - 2 = 13[/tex]
[tex] \sf-3x - 2y + 4 = 13[/tex]
[tex] \sf-3x - 2y + 4 -13 = 0[/tex]
[tex] \sf-3x - 2y -9 = 0~~\rightarrow~~kalikan\:ruas\:dengan\:-1[/tex]
[tex]\boxed{ \sf \:3x + 2y + 9= 0}[/tex]
[tex]~[/tex]
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (-1, 1)
[tex] \sf( x_1 - a) (x - a) + ( y_2- b)(y- b) = {r}^{2} [/tex]
[tex] \sf(-1 - 2)(x - 2) + (1 + 1)(y + 1) = {(\sqrt{13}})^{2} [/tex]
[tex] \sf(-3)(x - 2) + (2)(y + 1) = 13 [/tex]
[tex] \sf-3x + 6 + 2y + 2 = 13 [/tex]
[tex] \sf-3x + 2y + 8 = 13 [/tex]
[tex] \sf-3x + 2y + 8 - 13 = 0[/tex]
[tex] \boxed{\sf-3x + 2y -5 = 0}[/tex]
[tex]~[/tex]
Kesimpulan:
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 13 di titik yang berabsis -1 adalah [tex]\boxed{ \sf \:3x + 2y + 9= 0}[/tex] dan [tex] \boxed{\sf-3x + 2y -5 = 0}[/tex]
----------------------------------------------------------------------
Pelajari Lebih Lanjut
- Persamaan lingkaran dengan pusat (2,8) melalui titik (-2,6) adalah => https://brainly.co.id/tugas/15253748
- Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui.. a (1,4) B (3,8) dan C (5,0) => https://brainly.co.id/tugas/29027081
- Tentukan persamaan garis singgung lingkaran:(x-1)²+(y+5)²=10 dan malalui titik (5,-3)=> https://brainly.co.id/tugas/39907736
[tex]~[/tex]
Detail Jawaban
Mapel: Matematika
Kelas: 11
Materi: Bab 4 - Persamaan Lingkaran
Kode Kategorisasi: 11.2.4
Kata Kunci: Persamaan garis singgung lingkaran
[answer.2.content]